Secara garis besar, akan dituliskan konsep geometri analitik, dan sistem kordinat. Tiga matematikawan besar yang berperan besar dalam cabang ilmu matematika tersebut ialah Descartes, Fermat, dan Huygens.
1. Konsep Geometri Analitik
Lahirnya geometri proyektif dan pengembangannya adalah hasil pemikiran dari Desargues dan Pascal. Geometri analitik yang kita kenal sekarang adalah hasil pemikiran dari Descartes dan Fermat. Jika Geometri Proyektif adalah salah satu dari geometri non-Euclides, Geometri Analitik merupakan metode-metode analisa sifat-sifat geometri.
2. Descartes
Ia menulis DISCOURSE DE LA METHODE POUR BIEN CONDUIRE ET CHERCHER LA VERITE DANS LES SCIENCES. Tulisan itu dilengkapi dengan tiga judul lain yaitu LA DIOPTRIQUE, LES METEORES, dan LA GEOMETRIE. Dalam La Geometrie, itulah hasil pemikiran Descartes tentang geometri analitik.
Bagian pertama La Geometrie menguraikan aljabar geometri sebagai pengembangan dari aljabar geometri Yunani Purbakala. Berbeda dengan tafsiran geometri dari peubah aljabar Yunani maka x2 tidak ditafsirkan sebagai luas tetapi sebagai unsur keempat dalam perbandingan 1 : x = x : x2. Bagian kedua dari La Geometri adalah mengenai metoda membuat garis singgung pada suatu kurva. Bagian ketiga dari La Geometri menguraikan penyelidikan persamaan lebih dari derajat dua.
Penemuan lain dalam geometri oleh Descartes ialah mengenai hubungan antara banyaknya titik sudut T, banyaknya rusuk R dan banyaknya bidang sisi S dari suatu bidang banyak yang konveks maka T – R + S = 2. Descartes juga menemukan kurva derajat tiga yang dikenal dalam buku-buku teks kalkulus sekarang dengan nama folium Descartes.
3. Susunan Kordinat
Keterangan yang dipakai sebagai aturan untuk menentukan letak suatu titik di bidang datar dinyatakan dengan pasangan bilangan. Keterangan melalui pasangan bilangan riil itu dinyatakan terhadap susunan kordinat Cartesian, baik susunan kordinat miring ataupun ortogonal. Pasangan bilangan itu masing-masing menyatakan jarak-jarak ke masing-masing sumbu kordinat. Dengan ditemukannya sistem kordinat itu maka penggolongan kurva-kurva dapat diadakan. Dan melalui itu pula maka persamaan beberapa kurva dapat disederhanakan.
Penafsiran geometri dari kurva adalah sebagai tempat kedudukan titik-titik atau sebagai envelop dari garis-garis tangen. Lebih lanjut sebagai unsur dasar dalam besaran geometri dapat juga dipakai lingkaran. Karena pada susunan kordinat Cartesian lingkaran ditentukan oleh kordinat titik pada lingkaran itu dan titik pusatnya, berarti diperlukan pasangan tiga bilangan untuk menjadi unsur dasar besaran geometri. Buah pikiran inilah yang membawa pengembangan teori dimensi. Dimensi dari suatu geometri ialah banyaknya kordinat yang diperlukan untuk menentukan suatu unsur dasar dari geometri itu. Dengan konsep ini, bidang datar dikatakan dua dimensi dalam titik, dua dimensi dalam garis, tetapi tiga dimensi dalam lingkaran. Jadi dimensi itu tergantung pada unsur dasar yang dipakai sebagai besaran geometrinya.
4. Fermat
Lahir di dekat Toulouse (1601) dan tutup usia di Castres (1665). Bengku pendidikan pertamanya adalah di rumah. Dia mengembangkan banyak cabang matematika. Bersamaan dengan saat Descartes merumuskan dasar geometri analitik, Fermat juga mempelajari bahan pelajaran itu.
Dari hasil belajarnya sendiri ia menulis dalam suatu makalah berjudul “ISOGOGE AD LOCUS PLANOS ET SOLIDAS.” Di dalam tulisan itu terdapat persamaan garis dan lingkaran, dan membicarakan hiperbola, ellips, dan parabola. Ia menemukan kurva-kurva baru yang terbentuk oleh gerak mekanik. Kurva-kurva itu ialah parabola yn = axm , hiperbola xmyn = a , dan spiral Fermat rn = a θ.
Penemuan Fermat terpenting adalah mengenai teori bilangan. Dalam teori bilangan ia dipandang memiliki intuisi dan kemampuan luar biasa. Terjemahan Bachet de Meziriac pada tahun 1621 dari buku Diophantus yang berjudul Arithmetica menarik perhatian Fermat akan teori bilangan. Fermat membuat catatan pinggir pada terjemahan Bachet itu.
Beberapa penyelidikan yang dilakukan oleh Fermat antara lain :
1) Jika m suatu bilangan prima dan p bilangan relatif prima kepada m maka pm-1-1 habis dibagi m.
2) Jika p bilangan prima, maka berlaku
3) Luas daerah suatu segitiga siku-siku yang sisi-sisinya terdiri dari bilangan bulat tidak mungkin suatu bilangan kuadrat.
4) Terdapat hanya satu solusi bilangan bulat sebagai penyelesaian dari x2+2=y3, dan hanya dua solusi dari x2+4=y3
5. Huygens
Ia lahir di Haague (Den Haag), Belanda pada 14 April 1629. Ia belajar di Leiden pada Frans Schooten de Younger. Pada tahun 1951, yaitu pada usia 22 tahun, ia menerbitkan makalah yang menunjukkan kesalahan Saint-Vincent dalam perhitungan kuadratur lingkaran. Tulisan itu diikuti dengan karya-karyanya mengenai kuadratur irisan kerucut, perbaikan trigonometri dari Snell dalam metode perhitungan.
Pada tahun 1654, Huygens dan saudaranya menemukan cara baru untuk mengasah dan mengkilapkan lensa. Dengan adanya lensa itu ia mampu menjawab sejumlah pertanyaan dalam pengamatan astronomi, seperti sifat-sifat Saturnus. Karya astronominya membimbing ia kepada penemuan jam bandul sehingga ia mampu mengukur waktu lebih tepat.
Pada tahun 1657, Huygens menulis risalat pertama tentang peluang berdasarkan surat menyurat Pascal-Fermat. Risalat itu adalah uraian yang paling baik hingga saat itu mengenai peluang. Pada tahun 1713, Jacob Bernoulli menulis karya dengan judul “ARS CONJECTANDI” yang berisi cetak ulang dari risalat Huygens.
Banyak soal-soal menarik dan suka diselesaikan Huygens, dan memperkenalkan pengertian dan konsep penting tentang harapan matematika.
Hal-hal penting lain yang diperkenalkannya di antaranya, ‘jika p adalah peluang seorang memenangkan sesuatu jumlah a, dan q adalah peluang memenangkan jumlah b, maka dapat diharapkan ia memenangkan jumlah ap+bq.’
Pada tahun 1665, Huygens pindah ke Paris untuk mempergunakan pension yang diberikan Louis XIV. Semasa berada di Paris ia berhubungan dengan Royal Society London dengan mengirim makalah mengenai eksperimen bahwa momentum dari dua benda pada arah yang ditentukan adalah sama sebelum dan sesudah tumbukan. Pada tahun1675 ia menerbitkan di Paris karya besarnya, dengan judul “HOROLOGIUM OSCILATORIUM”.
Karya itu terdiri dari lima bagian. Bagian pertama mengenai jambandul yang ditemukannya pada tahun 1656. Bagian kedua membicarakan benda jatuh bebas dalam ruang kosong, tentang benda yang menggelinding pada bidang miring, atau yang menggelinding pada kurva licin. Dalam bagian kedua itu diuraikan sifat isochron dari busur cycloid yang terbalik, bahwa partaken berat akan mencapai dasar dari busur cycloid terbalik dalam panjang dan waktu yang sama dari titik manapun partikel mulai turun. Pada bagian ketiga ia menemukan evolut dari parabola adalah semi parabola derahat tiga, sedangkan evolut dari cycloid adalah cycloid dengan ukuran yang sama.
Pada bagian empat diuraikan sifat dari bandulan majemuk dengan bukti bahwa pusat oksilasi dan titik gantung dapat dipertukarkan. Pada bagian lima diuraikan mengenai teori dari jam dalam bagian itu didapat gambar dari bandul cycloid dengan periode oskilasi selalu sama bagaimanapun besar atau kecilnya amplitude dari askelasi itu.
Bagian terakhir dari 13 teorinya yang berkenaan dengan gaya sentrifugal dalam gerak melingkar yang dikenal sekarang dengan gerak melingkar uniform. Bahwa besar gaya sentrifugal berbanding lurus dengan pangkat dua dengan kecepatan linier dan berbanding terbalik dengan jari-jari lingkaran.
Pada tahun 1675, dibuatlah jam perrtama yang diatur dengan per yang seimbang, dan jam itu dihadiahkan kepad aLouis XIV. Pada tahun 1681, Huygens kembali ke negeri Belanda. Ia membuat lensa yang amat besar, dan menemukan lensa akhromatis untuk teleskop.
Pada tahun 1689, ia berkunjung ke Inggris dan berkenalan dengan Newton. Setelah kembali ke negeri Belanda, pada tahun 1690 ia menerbitkam suatu risalat yang menguraikan teori gelombang dari cahaya. Dari teori tersebut ia menurunkan secara geometri hokum refleksi dan refraksi cahaya dan menjelaskan fenomena refleksi rangkap dari cahaya.
Newton pun mendukung teori emisi dari cahaya. Teori gelombang cahaya itulah yang paling memasyhurkan nama Huygens dan ia disejajarkan dengan jenius-jenius ilmuwan lainnya. Risalat-risalat lain yang ditulis Huygens dari hasil penyelidikannya untuk perbaikan cisoida dari Diocles, penyelidikan geometri analitik dari Catenary, kurva logaritma, bentuk modern dari polinom, penyelidikan aturan-aturan maksimum dan minimum dari Fermat dan risalat matematika filsafat. Bukti-bukti yang diberikan Huygens disusun secara cermat dan ketat secara sempurna.
totok3harjanto 